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在使用优化算法的时候,常常会涉及到一些学习率的优化,那么我们应该怎么优化学习率呢?

调整学习率的策略:

1.在斜率(方向导数)大的地方,使用小的学习率

2.在斜率(方向导数)小的地方,使用大的学习率

下面我们通过梯度下降算法进行学习率的优化分析

在梯度下降中,设x[k]=a,那么沿着负梯度方向,移动到x[k+1]=b,则有:

 那么,从x[0]出发,每次沿着当前函数梯度反方向移动一定的距离ak,将得到下面的序列:

 则对应的个点的函数值序列的关系为:

 当n迭代到一定值的时候,这函数f(x)将收敛到局部的最小值。

我们将当前点记为x[k],当前的搜索方向为dk(如:负梯度方向),我们将学习率a看成自变量,因此,我们将函数f(x[k] + adk)看做是关于a的函数h(a),如下所示:

 对于上述函数,当a=0时,h(0)=f(x[k]),对于函数h(a),其导数为:

 在梯度下降中,梯度下降是为了寻找f(x)的最小值,那么,在x[k]和dk给定的前提下,即寻找函数f(x[k]+adk)的最小值, 即:

 如果函数h(a)可导,那么对于局部最小值处的a满足:

 下面我们就来计算最优学习率:

1.当a=0时,我们带入得到:

 2.对于下降方向,选择负梯度方向(或者选择与负梯度方向夹角小于90度的方向),即:

 可以得到h‘(a) < 0

 3.由此,我们总是能够选择足够大的a,使得h'(a) > 0,这样,就一定存在某a,使得h'(a) = 0,此时的a即为要寻找的a值。

接下来我们可以采用多种方法计算a值:

1.线性搜索

最简单的方式就是采用二分线性搜索的方式,通过不断的将区间[a1,a2]分成两半,选择端点异号的区间,当区间分的足够小的时候,我们就能得到一个足够好的最优学习率。

2.回溯线性搜索

 我们还可以采用基于Armijo准则计算搜索方向上的最大步长,其基本思想是沿着搜索方向移动一个较大的步长估计值,然后以迭代形式不断缩减步长,直到该步长使得函数值f(xk+αdk)相对与当前函数值f(xk)的减小程度大于预设的期望值(即满足Armijo准则)为止。

 

 两种方法的异同:

二分线性搜索的目标是求得满足h‘(α)≈0的最优步长近似值,而回溯线性搜索放松了对步长的约束,只要步长能使函数值有足够大的变化即可。
二分线性搜索可以减少下降次数,但在计算最优步长上花费了不少代价;回溯线性搜索找到一个差不多的步长即可。

回溯线性搜索的思考:插值法

采用多项式插值法(Interpolation) 拟合简单函数,然后根据该简单函数估计函数的极值点,这样选择合适步长的效率会高很多。现在拥有的数据为: xk处的函数值f(xk)及其导数f’(xk) ,再加上第一次尝试的步长α0。如果α0满足条件,显然算法退出;若α0不满足条件,则根据上述信息可以构造一个二次近似函数:

 这样,我们可以计算导数为0的最优值。

一般的说,回溯线性搜索和二次插值线性搜索能够基本满足实践中的需要。

 

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